递推数列的表示方法（递推公式以及通项公式求解）
关于高考数学相关的数列类问题，我们已经陆续讲解了数列求和问题、数列类实际应用型问题、数列综合运用问题等等。各个专题针对高考数列不同的考查方向和出题方式，如果大家对每个专题都能认真去研读和思考，相信一定能帮助大家掌握好数列相关知识内容。
在讲解几个数列专题知识内容过程中，我们发现要顺利解决数列问题，很多时候需要先找出数列的通项公式，或是递推公式等等。很多考生无法解决数列问题，都是卡在这个问题上，无法找出数列的通项公式，自然数列问题就无法继续下一步，更别说解决问题，拿到分数。
因此，今天我们就一起来讲讲数列问题当中关键解题步骤：如何求解数列的通项公式，即递推数列问题。
什么是数列的通项公式？
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
在求解数列通项公式过程中，我们需要对数列的递推公式非常了解，那么什么是数列的递推公式呢？
如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式。
典型例题分析1：
数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝an＋cn(n∈N*，常数c≠0)，且a1，a2，a3成等比数列．
(1)求c的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)由题知，a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，
因为a1，a2，a3成等比数列，所以(2＋c)2＝2(2＋3c)，
解得c＝0或c＝2，又c≠0，故c＝2.
(2)当n≥2时，由an＋1＝an＋cn得
a2－a1＝c，
a3－a2＝2c，
…
an－an－1＝(n－1)c，
以上各式相加，得an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝n(n-1)c/2，
又a1＝2，c＝2，故an＝n2－n＋2(n≥2)，
当n＝1时，上式也成立，
所以数列{an}的通项公式为an＝n2－n＋2(n∈N*)．
通过递推数列来求通项类数列问题，很多时候我们都会碰到与函数、方程、不等式、三角、几何等知识相结合的综合问题。遇到此类问题，我们要学会利用第n与前n项和关系、构造等比等差数列、累积累差等求数列通项公式方法，提高将非特殊数列问题转化为特殊数列问题及利用等比等差数列通项公式解题能力和分析问题解决问题能力。此类考查很多时候出现在小题或大题的第一小题中，是有一定难度的题目。
解决数列类问题，我们一定要紧紧抓住数列的函数特征，如数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)。
同时更要加深对数列概念的理解，如数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性。
因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列。数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别。
在求数列通项公式过程中需要用到一些数学思想，如根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想。因此，在平时的数学学习过程中，我们一定要多加积累数学思想方法，提高数学综合能力。
典型例题分析2：
已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.求数列{an}与{bn}的通项公式．
解：∵当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，
当n＝1时，
a1＝S1＝4也适合，
∴{an}的通项公式是an＝4n(n∈N*)．
∵Tn＝2－bn，
∴当n＝1时，
b1＝2－b1，b1＝1.
当n≥2时，
bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)，
∴2bn＝bn－1.
∴数列{bn}是公比为1/2，首项为1的等比数列．
∴bn＝(1/2)n－1.
根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整。
对已知数列的前n项和，求通向公式问题，常用公式：当n=1时，an=S1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1，分别来直接求出通项公式。对给出数列n项和与若干项的关系求通项公式问题，若利用上述公式易转化转化为关于an的递推公式，则先求出an的递推公式，再通过构造数列或累积或累差求出通项公式；若利用上述公式易转化为关于Sn的递推公式，则先求出Sn的递推公式，再求出Sn的通项公式，再用上述公式，直接求出an的通项公式.再利用上述公式求通项公式时，注意要分n=1和n≠1分别求解，验证n=1时是否适合n≠1的解析式，若不适合则写成分段函数形式，若适合则用一个式子表示。
具体来说就是已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：
1、先利用a1＝S1求出a1；
2、用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
3、对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．
典型例题分析3：
在求通项公式过程当中，有时候我们需要构造等差数列或等比数列求数列通项公式。如对所给的数列条件通过取倒数、两边同除以某个式子、重新组合等变形方法，化为f(n+1)-f(n)=d(d为常数)（f(n+1)/f(n)=q（q为常数））的形式，常构造等差（等比）数列bn=f(n)，先利用等差（等比）数列通项公式求出bn的通项公式，再利用an与f(n)的关系，求出an的通项公式，注意结合结论寻找条件变形方向。
